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最长回文子串问题：给定一个字符串，求它的最长回文子串长度。

如果一个字符串正着读和反着读是一样的，那么我们称之为回文串。例如：abba、aaaa、abvcba、123321等

暴力法：遍历字符串的所有子串，对每个字串进行判断。求字符串的所有子串时间复杂度为O(n^2)，判断回文后，总的时间复杂度为O(n^3)。我们规定在判断回文的时候从最长的子串开始，一旦找到就返回。判断回文的时候，采用从外到内左右成对推进方式进行。

import java.util.Scanner;public class Main {    static String str = new String();    public static void main(String[] args) {		Scanner in = new Scanner(System.in);		str = in.next();		System.out.println(sub());	}	private static int sub() {		int low, high;		for (int len = str.length() - 1; len > 0; len--) {			for (low = 0, high = low + len; high < str.length(); low++, high++) {				if (check(low, high)) {					return high - low + 1;				}			}		}		return 1;	}	private static boolean check(int low, int high) {		while (low <= high) {			if (str.charAt(low) == str.charAt(high)) {				low++;				high--;			} else {				return false;			}		}		return true;	}}

从内到外逐个推进方式：由于回文串的特性，我们可以以每个位置为中心进行检查，这样可以不用暴力所有的子串，减少了重复的判断。时间复杂度为O(n^2)。这里要注意检查是要关注奇偶的不同情况，如abba和aba。

import java.util.Scanner;public class Main2 {	static String str = new String();	static int max = 0;    public static void main(String[] args) {		Scanner in = new Scanner(System.in);		str = in.next();		sub();		System.out.println(max);	}	private static void sub() {		if (str.length() == 1) {			max = 1;		}		for (int i = 0; i < str.length() - 1; i++) {			check(i, i);			check(i, i+1);		}			}	private static void check(int low, int high) {		while (low >= 0 && high < str.length()) {			if (str.charAt(low) == str.charAt(high)) {				if (high - low + 1 > max) {					max =  high - low + 1;				}				low--;				high++;			} else {				return;			}		}	}}

Manacher算法：俗称马拉车算法。这是目前求解最长回文串的最优算法。第二种思路在会将从str.charAt(0)一直检查到str.charAt(lstr.length-1)，这样的话还是有许多不必要的操作，而这种算法的核心就在于优化了这一块的判断，跳过某些不必要的值。

由于回文串会出现奇数和偶数不同的情况，如abba和abcba，算法采用插入“#”的方法，使得所有的串都变成奇数串（“$”是占0的位置，从1开始方便操作），这个新的串我们命名为s_new[]。之后定义p[]，用p[i]表示以s_new[i]为中心的最长回文串的半径（包含自身），如abcba的s_new["c"] = 3 (半径为2，再加自身)。我们以字符串abbabcbac为例，最长回文子串为abcba，长度为5。

那么如何计算p[i]就成了这个算法的难点，我们自然不能按着思路二：先令p[i]=1，再以s_new[i]为中心判断两侧是否相等，p[i]++，这是非常低效的。实际上，我们可以不让p[i]初始化为1，我们设定两个变量mx和id，id为s_new[i]的下标（也就是i），mx表示以s_new[id]为中心的最长回文串的右侧边界，以abcba为例，s_new["c"] = 3，id=2（"c"的下标），对应的mx=id+s_new["c"] = 5，刚好就是最右侧"a"的下标。

结合下图，对于i<mx的情况 , 存在p[i] = min(p [2*id-i], mx-i)。

解释一下上面式子，2*id-i = j，所以p[2*id - i] = p[j]，即以s_new[j]为中心的最长回文串的半径（包含自身）。因为以id为中心的回文子串的长度为mx与其对称点之间的距离，而要求p[i]，则可以利用p[j]来加快查找。

而之所以上面的式子成立是需要深入探讨的，有兴趣的朋友可以参考

import java.util.Scanner;public class Main {    static String str = new String();    static char[] s_new;    static int[] p;    public static void main(String[] args) {		Scanner in = new Scanner(System.in);		str = in.next();		s_new = new char[str.length() * 2 + 2];		p = new int[str.length() * 2 + 2];				System.out.println(Manacher());	}    	private static int Manacher() {		// TODO Auto-generated method stub		int len = init();		int maxlen = -1;		int id = 0;		int mx = 0;		for (int i = 1; i < len; i++) {			if (i < mx) {				p[i] = Math.min(p[2 * id - i], mx - i);			} else {				p[i] = 1;			}			while (i + p[i] < s_new.length && i - p[i] >= 0 &&s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]]) {				p[i]++;			}			if (mx < i + p[i]) {				id = i;				mx = i + p[i];			}			maxlen = Math.max(maxlen, p[i] - 1);		}		return maxlen;	}	private static int init() {		// TODO Auto-generated method stub		s_new[0] = '$';		s_new[1] = '#';		int j = 2;				for (int i = 0; i < str.length(); i++) {			s_new[j++] = str.charAt(i);			s_new[j++] = '#';		}		return j;	}}